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lunes, 4 de julio de 2011

3.2 Longitud de curvas.

En matemática, la longitud de curvas, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función  , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva s que va desde un punto a a uno b. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a Δx, de manera que para cada uno existirá un cateto Δy asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa,



al aplicarse el teorema de Pitágoras. Así, una aproximación de s estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso se tiene que:



Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;



Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que Δx tienda a cero. Así, Δx se convierte en dx, y cada cociente incremental Δyi / Δxi se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;




Ejemplo Real:

Referencia Bibliografica
http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco

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