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lunes, 4 de julio de 2011

3.1 Áreas 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Sea \mathrm{f} una función continua en el intervalo     tal que f toma solo valores NO negativos en dicho intervalo  


Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   la grafica de la función f y el eje x? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:
 
Este area es el valor de la integral entre a y b de f y la denotamos por: 
 

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).


Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).


Dividimos el intervalo  (a.b)en n intervalos de la misma longitud   Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

  

Donde:  

Para     contruyamos el rectangulo cuya base es el intervaloy cuya altura es de longitud  



Haciendo esto para , terminamos con n rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de \mathrm{f} que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea n mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   

Así, cuando n=2

  

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo n=4

  
Llamemos  Sn  a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:



Es decir,  Sn   tiende a    cuando el número de rectangulos, n, tiende a infinito.
En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función f toma valores NO negativos en el intervalo   (a.b)   ¿Que pasaría si \mathrm{f} tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x=a   y  x=b   la grafica de la función f y el eje X?
  

 

 
 
 






  
Fuente Bibliogafica

http://www.vadenumeros.es/segundo/area-de-una-funcion-eje-abcisas.htm
http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81rea_bajo_la_grafica_de_una_funci%C3%B3n_continua.html


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