Calculo Integral: 3.1 Áreas 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Sea $\mathrm{f}$ una función continua en el intervalo

tal que f toma solo valores NO negativos en dicho intervalo

Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones

la grafica de la función f y el eje x? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

Este area es el valor de la integral entre a y b de f y la denotamos por:

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

Dividimos el intervalo (a.b)en n intervalos de la misma longitud

Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

Donde:

Para

contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo

y cuya altura es de longitud

Haciendo esto para

, terminamos con n rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de $\mathrm{f}$ que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea $n$ mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a

Así, cuando n=2

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo n=4

Llamemos Sn a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir, Sn tiende a

cuando el número de rectangulos, n, tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función f toma valores NO negativos en el intervalo (a.b) ¿Que pasaría si $\mathrm{f}$ tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b la grafica de la función f y el eje X?