3.1 Áreas 3.1.1 Área bajo la gráfica de una función. 3.1.2 Área entre las gráficas de funciones.

Sea una función continua en el intervalo     tal que f toma solo valores NO negativos en dicho intervalo  


Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   la grafica de la función f y el eje x? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:

 

Este area es el valor de la integral entre a y b de f y la denotamos por: 

 

Esta integral se trata de una integral definida. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una integral indefinida es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).


Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).


Dividimos el intervalo  (a.b)en n intervalos de la misma longitud   Los limites de estos intervalos mas pequeños son:

  

Donde:  

Para     contruyamos el rectangulo cuya base es el intervaloy cuya altura es de longitud  

Haciendo esto para , terminamos con n rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular.

En general, cuanto mayor sea mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a   

Así, cuando n=2

  

uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo n=4

  

Llamemos  Sn  a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

Es decir,  Sn   tiende a    cuando el número de rectangulos, n, tiende a infinito.

En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función f toma valores NO negativos en el intervalo   (a.b)   ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones   x=a   y  x=b   la grafica de la función f y el eje X?

  

 

 

 

 

  

Fuente Bibliogafica

http://www.vadenumeros.es/segundo/area-de-una-funcion-eje-abcisas.htm

http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81rea_bajo_la_grafica_de_una_funci%C3%B3n_continua.html