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miércoles, 25 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor.

SERIE DE TAYLOR



La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.



La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.



Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.



Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...



La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:




Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a



Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.



Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:





La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.



Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.



El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.



¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:




Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.





Existen series de Taylor para:

  • Función exponencial
  • Logaritmo natural



Serie Geométrica



Teorema del binomio



Funciones trigonométricas:

  • Seno
  • Coseno
  • Tangente
  • Secante
  • Arco seno
  • Arco tangente



Funciones hiperbólicas:

  • Senh
  • Cosh
  • Tanh
  • Senh-1
  • Tanh-1


Función W de Lamber


Ejemplo sobre la serie de Taylor 

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