Calculo Integral

jueves, 26 de mayo de 2011

4.4 Radio de convergencia.

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma

con

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma

con

número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para recibe el nombre de serie de potencias centrada en x₀. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x₀ | < r, donde r es un los valores de x pertenecientes al intervalo (x₀ − r, x₀ + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x₀, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x₀ = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x₀ = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x₀ = 3 tiene la forma:

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es.

Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.

Radio de convergencia infinito

Por ejempló, la función e^x puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x,

de hecho

Y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

Referencia bibliografica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia

miércoles, 25 de mayo de 2011

4.5 Serie de Taylor.

SERIE DE TAYLOR

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

Donde n! es el factorial de n

F⁽ⁿ⁾ es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) ⁿ por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hⁿ⁺¹. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

Existen series de Taylor para:

Función exponencial
Logaritmo natural

Serie Geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas:

Seno
Coseno
Tangente
Secante
Arco seno
Arco tangente

Funciones hiperbólicas:

Senh
Cosh
Tanh
Senh-1
Tanh-1

Función W de Lamber

Ejemplo sobre la serie de Taylor

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Aplicaciones

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

jueves, 19 de mayo de 2011

Unidad 4 Series

4.7 Cálculo de Integrales de funciones
expresadas como serie de Taylor.

En el calculo se le da una gran valor al matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció el teorema de Taylor con mayor generalidad en 1712.

Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Teorema:

Si n ≥ 0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a,x] y n+1 veces en el intervalo abierto (a,x), entonces se cumple que:

$f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{f^{\left( k \right)} (a)}}{{k!}}} (x - a)^k + R_n (f)$

Donde $R_n (f)$ denota el resto de de aproximar f por el polinomio depende de x y es pequeño si x está próximo al punto a.

$R_n (f) = \frac{{f^{\left( {n + 1} \right)} \left( \xi \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - a}\right)^{n + 1}$ y $\xi$ es un número entre a y x.

En general si la (n+1) derivada de f está acotada por una constante M en el intervalo (a,b) que se menciona en el teorema de Taylor, es decir, si

$\left| {f^{\left( {n + 1} \right)} \left( x \right)} \right| \leqslant M$ para todo x en (a,b)

entonces $\left| {R_n (f)} \right| = \left| {\frac{{f^{\left( {n + 1} \right)}\left( \xi \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {x - a} \right)^{n + 1} } \right| \leqslant M \cdot \left|{\frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{\left( {n + 1} \right)!}}} \right|$

Cuando n crece indefinidamente entonces $\left| {\frac{{\left( {x - a} \right)^{n + 1} }}{{(n + 1)!}}} \right| \to 0$

Ejemplo:

Ejemplo 1. Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface:

P(2) = 3, P '(2) = 5, P ⁽²⁾(2) = 4, P ⁽³⁾(2) =24 y P ⁽⁴⁾(2) =48

Solución: Para encontrar la expresión del polinomio en términos de (x-2), simplemente sustituimos x_o = 2 y n = 4 en la expresión ( I ), obteniendo:

y por lo tanto el polinomio buscado es:

P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)² + 4(x - 2)³ + 2(x - 2)⁴

Referencia Bibliografica:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylor
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.htm
http://www.aulademate.com/blog/taylor/

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