Calculo Integral: 3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = wR2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es wR2π , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Ejemplo

La región entre

y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen.

Región que rota alrededor del eje x

2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL:Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir:

3. LIMITES DE INTEGRACIÓN:Estos límites nos lo fueron
Región que rota alrededor del eje x
dados en el enunciado del ejemplo:

4. FORMULACION DE LA INTEGRAL:Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:

Por tanto el volumen del sólido es

u3.

Evidencias